2020-03-27 00:25:01
数学流行病学如何为流行病建模

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自从有人类以来,疾病就一直困扰着人类。疟疾和肺结核被认为在5000多年前席卷了古埃及。从公元541年到542年,被称为“贾斯汀尼瘟疫”的全球大流行据估计已经杀死了世界2亿人口的15%至25%。西班牙征服墨西哥后,当地人口从1519年的3,000万下降到50年后的300万。今天,我们正在努力控制COVID-19的传播,这种传播有可能导致人类历史上最致命的大流行。

然而,有一个鲜为人知但非常成功的科学领域正在努力揭开传染病的奥秘。正如我在《生与死的数学》中所探索的那样,数学流行病学在与大规模传染病(例如COVID-19)的斗争中起着至关重要的作用。

利用基本的数学模型,研究人员可以开始预测疾病的进展,并了解干预措施对疾病传播的影响。使用更复杂的模型,我们可以开始回答有关如何有效分配有限资源或挑逗公共健康干预措施(例如关闭酒吧和禁止聚会)后果的问题。

数学建模的见解对于确保主管部门可以预防尽可能多的死亡至关重要。随着COVID-19大流行的升级,下面是专家用来试图使病毒领先一步的模型内部的外观。

S-I-R模型

一种最简单的疾病传播数学模型,可以根据疾病状况将人群分为三个基本类别。尚未患该病的人被标记为“易感人群”。假定每个人天生就容易感染并能够被感染。那些感染了这种疾病并能够将其传染给易感者的人就是“传染病”。第三组被委婉地称为“已删除”类。这些是患有这种疾病并已经康复并且现在已经免疫的人,或者已经死亡的人。这些“被移走”的人不再有助于疾病的传播。

这称为S-I-R模型。从拉丁美洲的登革热到荷兰的猪瘟,再到比利时的诺如病毒,S-I-R模型可为如何预防疾病传播提供重要的经验教训。

该模型说明了对被感染者进行社会隔离的重要性。通过待在家里直到完全康复,您可以有效地将自己从受感染的班级直接带入被移除的班级,而无需感染病毒。这种简单的行动可以通过减少疾病传染给易感人群的机会来减小爆发的规模。

爆发是扩散还是消亡很大程度上取决于该爆发所独有的单个数字-基本繁殖数字。

想一想完全易感染某种特定疾病的人群,就像2019年12月COVID-19爆发开始时的全球人群一样。被单个新近引入的疾病携带者感染的以前未暴露的个体的平均数量被称为基本繁殖数,并且通常表示为R 1(发音为“ R-nought”或“ R-零”)。

如果一种疾病的R 1值小于1,那么随着每个感染者平均将疾病传播给少于一个其他个体,感染将迅速消失。疫情无法维持自身蔓延。如果R₀大于1,则爆发将成倍增长。

指数爆炸

早期估计COVID-19的基本繁殖数量将其定为1.5到4之间,在12月和1月至少为2。基本繁殖数为2,第一个患有该疾病的人将其传播给另外两个人,每个人平均将疾病传播给另外两个人,然后分别传播给另外两个人,依此类推。

这种指数增长是感染初期的特征。如果让这种传播继续下去,在发展的十代人中,将有超过1,000人受到感染。再往前走十步,伤亡人数将超过一百万。

实际上,由基本繁殖数预测的指数增长很少持续几代。由于感染者与易感者之间接触的频率降低,因此爆发最终达到高峰,然后下降。

即使没有传染性且疫情已正式结束,一些易感者仍会存在。 S-I-R模型可以提供对最终流行病规模的估计值,即如果不采取任何补救措施,则可以确定爆发后感染的人数。在COVID-19估计值的下限(繁殖数为1.5)意味着58%的人口将被感染。 S-I-R模型在估计值的较高端(R₀为4)预测,如果不采取任何措施,则只有2%的人不会受到感染。

一个关键数字

基本繁殖数有助于将几乎所有疾病爆发理解,因为它将疾病传播的所有细微之处都包裹在一个数字中。从感染在人体内的发展方式到传播方式,甚至是其传播所在的社会结构,它都掌握了所有暴发的关键特征,并允许我们做出相应的反应。

R 4通常可以分为三个部分:人口规模,易感者被感染的速率(通常称为感染力)以及疾病的恢复或死亡速率。增加这些因素中的前两个因素会增加R₀,而增加回收率则会降低它。人口越大,疾病在个体之间传播的速度越快,爆发的可能性就越大。个体恢复得越快,将疾病传播给他人的时间就越少,因此,控制疫情就越容易。

然后是有效的繁殖数。这是感染个体在疫情发展过程中的某个特定点所造成的平均继发感染数。如果通过干预将有效繁殖数降低到1以下,则该疾病将消失。

病死率

尽管R₀对控制疾病至关重要,但R₀并未告诉我们疾病对受感染者的严重程度。最终死于某种疾病的感染者比例称为病死率。

与50-70%的埃博拉患者最终死亡相比,麻疹等极具传染性的疾病的R₀在12至18之间,病死率相对较低。结果,尽管埃博拉病毒的R₀值小得多,约为1.5,但通常认为麻疹不如埃博拉病毒严重。早期估计表明,COVID-19的病死率在0.25%至3.5%之间。

重要的是要记住,病死率不是固定的,它取决于社会和个人对疾病的反应以及所感染人群的人口统计数据。例如,COVID-19的病死率似乎随着患者年龄的变化而显着变化,而老年人受到的影响最大。

令人惊讶的是,病死率高的疾病的传染性往往较低。如果某种疾病过快地杀死了太多的受害者,那么它就会降低其传播的机会。杀死大多数感染者并有效传播的疾病非常罕见,通常仅限于灾难电影。

尽管较高的病死率大大增加了疾病爆发时的恐惧感,但具有较高的R₀但病死率较低(与埃博拉病毒相比,COVID-19)的疾病可能由于感染的人数较多而导致更多人死亡。

控制爆发

减少疾病传播的最有效选择之一是接种疫苗。通过使人们直接从易感人群转移到被带走人群,绕过了传染状态,它有效地减小了易感人群的规模。

但是,疫苗接种通常是一种预防措施,首先可用于降低疾病爆发的可能性。一旦爆发像当前的COVID-19大流行一样,在一个有用的时间内开发和测试疫苗通常是不切实际的。

隔离和隔离可以有效地降低传输速率,从而降低有效的复制数量。隔离感染患者可降低传播速度,而隔离健康个体可减少有效易感人群。

两种行动都有助于减少有效繁殖数量,这就是为什么社会距离和自我隔离是应对COVID-19的重要策略的原因。

牛群免疫

英国政府在做出回应的初期似乎在玩弄一个想法,那就是牛群免疫-一种认为大量免疫个体可以减缓甚至阻止疾病传播的概念。令人惊讶的是,这种社区效应并不需要每个人都对这种疾病具有免疫力,因此整个人口都无法得到保护。通过将有效繁殖数量减少到少于一个(确保感染者与尽可能少的易感人群接触),传播链可以被打破,疾病也可以停止。至关重要的是,畜群免疫力意味着免疫力低下的人,老人,孕妇和其他高危人群可以从他人免疫力提供的保护中受益。

需要免疫以保护其余部分的人口比例因疾病的传染性而异。基本复制数R 1决定了该比例有多大的关键。基本繁殖数越高,种群的免疫比例就越高。例如,对于基本繁殖数为4的疾病,S-I-R模型预测,四分之三的人口必须免疫。如果R₀低至1.5,那么可能只有三分之一的人口需要获得免疫力才能保护其余三分之二。

如果有疫苗,则可以通过给足够高的人口接种疫苗来实现畜群免疫(也就是说,我们只有通过疫苗接种才能彻底消灭一种人类疾病-天花)。

如果没有疫苗,人们获得免疫力的唯一方法就是感染该疾病并康复。考虑到COVID-19的病死率,这将导致成千上万人的死亡。毫不奇怪,英国政府回撤了他们的拟议政策。

下一代建模

实际上,简单的S-I-R模型不够复杂,不足以捕捉许多传染病爆发的微妙之处。但是,对于不给受害者带来免疫力的疾病,简单地改编S-I-R模型可以有所帮助。

正如某些性传播疾病的典型特征,淋病根本没有移居人群。从淋病中恢复后,患者可以再次感染。由于没有人死于淋病症状,因此没有人从人群中“撤离”。这样的模型通常被标记为S-I-S,模仿个体从易感性变为感染性并再次变回易感性的进展模式。由于易感人群从来没有精疲力尽,而是随着人们的康复而更新,因此,S-I-S模型预测疾病可以成为自给自足或“地方病”。

爆发初期,科学家担心的主要问题之一是,SARS-CoV-2(引起COVID-19的病毒)的单次感染是否足以提供免疫力。新病毒能否在人群中无限传播?尽管有几篇关于人们第二次感染该病毒的报道,但也有充分的证据表明康复的COVID-19患者可以免疫。

新型冠状病毒的另一个问题是疾病开始时通常没有症状。在此期间,人们可以藏匿病毒并感染他人而不会表现出症状。这意味着我们需要在模型中添加另一类人员。这些人一旦被感染,就能够在不表现出症状的情况下继续传播疾病,即所谓的“携带者”阶层。这将S-I-R模型更改为S-C-I-R模型。携带者类别对于代表诸如HIV / AIDS的疾病至关重要,这些疾病的传染期很长,没有明显的症状。

当前用于指导政府政策的最新模型更加复杂。不幸的是,即使是最详细,最现实的数学模型也无法预测当前的流行病何时会来临。

但是可以肯定的是,当我们最终控制局势时,数学家及其模型将在剧情发展的方式中发挥重要作用。

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